三角函数公式

三角函数公式

	直角三角形	任意三角函数
正弦(sin)	$$ \sin A = \frac{a}{c} $$	$$ \sin\theta = \frac{y}{r} $$
余弦(cos)	$$ \cos A = \frac{b}{c} $$	$$ \cos\theta = \frac{x}{r} $$
正切(tan或tg)	$$ \tan A = \frac{a}{b} $$	$$ \tan\theta = \frac{y}{x} $$
余切(cot或ctg)	$$ \cot A= \frac{b}{a} $$	$$ \cot\theta= \frac{x}{y} $$
正割(sec)	$$ \sec A= \frac{c}{a} $$	$$ \sec\theta= \frac{r}{x} $$
余割(csc)	$$ \csc A= \frac{c}{a} $$	$$ \csc\theta= \frac{c}{y} $$

函数公式

倒数关系

$$ \begin{aligned} \tan\alpha\cot\alpha&=1\\ \sin\alpha\csc\alpha&=1\\ \cos\alpha\sec\alpha&=1 \end{aligned} $$

商数关系

$$ \begin{aligned} \tan\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\ \cot\alpha&=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \end{aligned} $$

平方关系

$$ \begin{aligned} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \\ 1 + \cot^2\alpha &= \csc^2\alpha \\ 1 + \tan^2\alpha &= \sec^2\alpha \end{aligned} $$

诱导公式

公式1：设\(\alpha\)为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

$$ \begin{aligned} \sin(2k\pi + \alpha) &= \sin\alpha(k \in z) \\ \cos(2k\pi + \alpha) &= \cos\alpha(k \in z) \\ \tan(2k\pi + \alpha) &= \tan\alpha(k \in z) \\ \cot(2k\pi + \alpha) &= \cot\alpha(k \in z) \end{aligned} $$

公式2：设\(\alpha\)为任意角，\(\pi+\alpha\)的三角函数值与\(\alpha\)的三角函数值之间的关系

$$ \begin{aligned} \sin(\pi+\alpha) &= - \sin\alpha\\ \cos(\pi+\alpha) &= - \cos\alpha\\ \tan(\pi+\alpha) &= \tan\alpha\\ \cot(\pi+\alpha) &= \cot\alpha \end{aligned} $$

公式3：任意角\(\alpha\)与\(-\alpha\)的三角函数值之间的关系

$$ \begin{aligned} \sin(-\alpha) &=- \sin\alpha\\ \cos(-\alpha) &= \cos\alpha\\ \tan(-\alpha) &=-\tan\alpha\\ \cot(-\alpha) &=-\cot\alpha \end{aligned} $$

公式4：利用公式二和公式三可以得到\(\pi-\alpha\)与\(\alpha\)的三角函数值之间的关系

$$ \begin{aligned} \sin(\pi-\alpha) &= \sin\alpha \\ \cos(\pi-\alpha) &= - \cos\alpha \\ \tan(\pi-\alpha) &= - \tan\alpha \\ \cot(\pi-\alpha) &= - \cot\alpha \end{aligned} $$

公式5：利用公式一和公式三可以得到\(2\pi-\alpha\)与\(\alpha\)的三角函数值之间的关系

$$ \begin{aligned} \sin(2\pi-\alpha) &=-\sin\alpha \\ \cos(2\pi-\alpha) &=\cos\alpha \\ \tan(2\pi-\alpha) &= - \tan\alpha \\ \cot(2\pi-\alpha) &= - \cot\alpha \end{aligned} $$

公式6：\(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\)与\(\alpha\)的三角函数值之间的关系

$$ \begin{aligned} \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha) &= \cos\alpha \\ \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) &= \cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha) &= - \sin\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) &= \sin\alpha \\ \tan(\frac{\pi}{2}+\alpha) &= - \cot\alpha \\ \tan(\frac{\pi}{2}-\alpha) &= \cot\alpha \\ \cot(\frac{\pi}{2}+\alpha) &= - \tan\alpha \\ \cot(\frac{\pi}{2}-\alpha) &= \tan\alpha \end{aligned} $$

基本公式

二角和差公式

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha\pm\beta) &= \cos\alpha\cos\beta\pm\sin\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{aligned} $$

三角和公式

$$ \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta+\gamma)&=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma \\ \cos(\alpha+\beta+\gamma)&=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma \end{aligned} $$

积化和差公式

$$ \begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2} \\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2} \\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \sin\alpha\sin\beta&=\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}{2} \end{aligned} $$

和差化积公式

$$ \begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \end{aligned} $$

倍角公式

二倍角公式

$$ \begin{aligned} \sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \\ \cos^2\alpha&=\frac{1+\cos2\alpha}{2} \\ \sin^2\alpha&=\frac{1-\cos2\alpha}{2} \end{aligned} $$

三角形面积

$$ \begin{aligned} S _\Delta&=\frac{1}{2}ab\sin C\\ &=\frac{1}{2}bc\sin A\\ &=\frac{1}{2}ac\sin B \end{aligned} $$